Palacios 模型在轴对称圆管内的流动形式

这份笔记讨论含屈服应力的非压缩流体在圆管内作层流运动时，如何从 Palacios 流变模型建立速度分布与流量方程。核心做法是把截面分成中心柱塞流区和外围剪切流区，再分别写出受力平衡与流量积分。

速度梯度方程是非线性的，原始材料没有继续求解析解，而是计划用 MATLAB 中的龙格—库塔法数值求解。在管道尺寸和流变参数给定的前提下，笔记最终把柱塞流半径归结为流量的函数，并由该半径计算单位长度压降。

流动区域与基本假设

考虑半径为 $$R$$ 的圆管，径向坐标记为 $$r$$ ，轴向速度写作 $$v(r)$$ 。流体不可压缩，管内为层流，并忽略壁面滑移。

截面中心半径 $$r_0$$ 以内为柱塞流区。这里的剪切应力低于屈服应力，各流层之间没有相对运动，因此速度保持为 $$v(r_0)$$ 。从 $$r_0$$ 到 $$R$$ 为剪切流区，剪切应力超过屈服应力，速度随半径变化。两区交界处满足 $\tau=\tau_y$ 。

原稿将 Palacios 模型描述为 Cross 模型的简化形式，并在黏性项之外加入屈服应力项，用于表征较宽剪切速率范围内的润滑脂流动性质：

\tau = \tau_y+K\dot{\gamma}^{\,n}+\eta_b\dot{\gamma} \tag{1}

式中， $\tau$ 为当前剪切应力， $\tau_y$ 为屈服应力， $$K$$ 为稠度系数， $$n$$ 为幂律指数， $\eta_b$ 为极高剪切速率下的润滑脂黏度， $\dot{\gamma}$ 为速度梯度。

对半径为 $$r_0$$ 、长度为 $\mathrm{d}l$ 的柱塞流区域写轴向受力平衡，可得：

\pi r_0^2\,\mathrm{d}p = 2\pi r_0\tau_y\,\mathrm{d}l \tag{2}

在剪切流区取一个外半径为 $$r$$ 、内半径为 $$r_0$$ 、长度为 $\mathrm{d}l$ 的圆环柱体。令两端压强差为 $\mathrm{d}p$ ，轴向受力平衡写成：

\left(2\pi r\tau-2\pi r_0\tau_y\right)\mathrm{d}l = \pi\left(r^2-r_0^2\right)\mathrm{d}p \tag{3}

将式（1）、式（2）和式（3）联立，并用 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}r$ 表示速度梯度，原稿得到一阶非线性常微分方程：

\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right)^n = -\frac{\eta_b}{K}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} + \frac{\tau_y r-\tau_y r_0}{K r_0} \tag{4}

由于式（4）是非线性方程，原稿将它扩展为二阶形式，再使用龙格—库塔法求解。原稿给出的二阶方程为：

\frac{\mathrm{d}^2v}{\mathrm{d}r^2} = \frac{ \tau_B\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} }{ (n-1)(\tau_y r-\tau_y r_0) -(n-2)\eta_b r_0\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} } \tag{5}

忽略壁面滑移后，管壁处的速度边界条件为 $$v(R)=0$$ 。原稿说明 $$v'(R)$$ 可由式（4）确定；由于 $\eta_b$ 较小，其取值分布在下式附近：

\left( \frac{\tau_y r-\tau_y r_0}{K r_0} \right)^{\!1/n}

由这两个边界量出发，可以沿径向积分得到剪切流区的速度分布；柱塞流区则保持交界面速度 $$v(r_0)$$ 。

总流量由柱塞流区和剪切流区两部分组成。柱塞流区内速度不随半径变化，因此：

Q_1 = \int_0^{r_0}2\pi r\,v(r_0)\,\mathrm{d}r = \pi r_0^2v(r_0) \tag{6}

剪切流区的流量为：

Q_2 = \int_{r_0}^{R}2\pi r\,v(r)\,\mathrm{d}r \tag{7}

两部分相加，得到整个圆管截面的流量：

Q = \pi r_0^2v(r_0) + \int_{r_0}^{R}2\pi r\,v(r)\,\mathrm{d}r \tag{8}

在管道尺寸和流变参数已经给定时，可把流量 $$Q$$ 作为约束，通过式（8）反求柱塞流半径 $$r_0$$ 。再由式（2）整理得到单位长度压降：

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l} = 2\frac{\tau_y}{r_0} \tag{9}

因此，“柱塞流半径仅与流量有关”应理解为：在管道尺寸和流变参数均已固定的特定计算条件下， $$Q$$ 是用于确定 $$r_0$$ 的剩余约束。原始材料没有给出参数表、计算代码或数值结果，尚不足以把这一表述推广为与材料参数和管径无关的一般结论。